Формулы вычисления площади произвольного четырёхугольника

Площадь частных случаев четырехугольников

Для вычисления частных случаев четырехугольников можно воспользоваться формулами и калькуляторами, приведенными в других статьях сайта:

Определения

Четырехугольник – это геометрическая плоская фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь четырехугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км 2 , м 2 , см 2 , мм 2 и т.д.

Вписанные четырехугольники и их свойства

Теорема Птолемея

Нахождение площади четырёхугольника различными способами и методами

Узнаем как найти площадь четырёхугольника когда даны его диагонали и образуемый при их пересечении острый угол. Тогда площадь четырёхугольника будет вычисляться по формуле: S = 1/2*d1*d2*sin(d1,d2).

Рассмотрим пример. Пусть d1 = 15 сантиметров, d2 = 12 сантиметров, и угол между ними 30 градусов. Определим S. S = 1/2*15*12*sin30 = 1/2*15*12*1/2 = 45 сантиметров квадратных. Теперь пусть даны стороны и противолежащие углы четырёхугольника.

Пусть a, b, c, d известные стороны многоугольника; p — его полупериметр.

Корень квадратный выражения условимся обозначать как rad (от латинского radical). Формула площади четырёхугольника будет находиться по формуле: S = rad(( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − d ) − a b c d ⋅ c o s^2( (a,b) + (c,d))/2), где p = 1/2*(a + b + c + d). На первый взгляд, формула кажется очень сложной и вычурной.

Однако ничего сложного здесь нет, что мы и докажем, рассмотрев пример. Пусть данные нашего условия следующие: a = 18 миллиметров, b = 23 миллиметра, c = 22 миллиметра, d = 17 миллиметров.

Противолежащие углы будут равны (a,b) = 0,5 градуса и (c,d) = 1,5 градуса. Для начала находим полупериметр: p = 1/2*(18 + 23 + 22 + 17) = 1/2*80 = 40 миллиметров. Теперь найдём квадрат косинуса полусуммы противолежащих углов: c o s^2( (a,b) + (c,d))/2) = c o s^2(0,5 + 1,5)/2 = c o s1*c o s1 = (1/2)*(1/2) = 0,9996.

Подставим полученные данные в нашу формулу, получим: S = rad((40 — 18)*(40 — 23)*(40 — 22)*(40 — 17) — 18*23*22*17*0,97) = rad(22*17*18*23 — 18*23*22*17*1/4) = rad((22*17*18*23*(1 — 0,9996)) = rad(154836*0,0004) = rad62 = 7,875 миллиметра квадратного. Разберёмся как находить площадь с помощью вписанной и описанной окружностей.

При решении задач данной темы имеет смысл сопровождать свои действия вспомогательным рисунком, хотя это требование и не является обязательным. Если есть вписанная окружность и нужно найти площадь четырёхугольника формула имеет вид: S = ((a + b+ c + d)/2)*r Снова возьмём на рассмотрение пример: a = 16 метров, b = 30 метров, c = 28 метров, d = 14 метров, r = 6 метров.

Если есть вписанная окружность и нужно найти площадь четырёхугольника формула имеет вид: S = ((a + b+ c + d)/2)*r Снова возьмём на рассмотрение пример: a = 16 метров, b = 30 метров, c = 28 метров, d = 14 метров, r = 6 метров. Подставим аши значения в формулу, получим: S = ((16 +30 + 28 + 14)/2)*6 = 44*6 = 264 метров квадратных.

Теперь займёмся вариантом когда окружность описана вокруг четырёхугольника. Здесь мы сможем воспользоваться следующей формулой: S = rad((p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ), где p равно половине длины периметра.

https://youtube.com/watch?v=GsKDC_HdGiw

Пускай в нашем случае стороны имеют следующие значения a = 26 дециметров, b = 35 дециметров, c = 39 дециметров, d = 30 дециметров.

Первым делом определим полупериметр, p = (26 + 35 + 39 + 30)/2 = 65 дециметров. Подставим найденное значение в нашу формулу. Получим: S = rad((65 — 26)*(65 — 35)*(65 — 39)*(65 — 30)) = rad(39*30*26*35) = 1032 (округлённо) дециметров квадратных.

Площадь участка сложной формы

Подумалось, что остановить их можно только написав вот такой шуточный калькулятор.

(Нажмите кнопку «Остановить» для определения площади понравившегося Вам четырехугольника с заданными Вами сторонами). Длина стороны A Длина стороны B Длина стороны C Длина стороны D Площадь неправильного четырехугольника, зная только длины сторон, вычислить нельзя. Надеюсь, эта демонстрация поможет понять это всем, кто просил создать для этого калькулятор.

Надеюсь, эта демонстрация поможет понять это всем, кто просил создать для этого калькулятор. Зачем нужно знать площадь полаОпределение площади прямоугольного помещенияРасчет площади комнаты неправильной планировкиУзнаём площадь треугольного помещенияКак рассчитать площадь стен комнатыКак рассчитать площадь стен комнаты Пропорции между площадью пола и окон Невозможно проводить ремонт напольной поверхности, не зная точную площадь пола в частном домовладении или квартире. Дело в том, что сегодня стоимость строительных материалов достаточно высокая, и каждый владелец недвижимости старается максимально сэкономить на их покупке.

Поэтому информация, как рассчитать площадь пола, не будет лишней для того, кто предпочитает делать ремонт собственноручно.

Площадь комнаты в квадратных метрах

Посчитать несложно, требуется только вспомнить простейшие формулы а также провести измерения. Для этого нужны будут:

• Рулетка. Лучше — с фиксатором, но подойдет и обычная.
• Бумага и карандаш или ручка.
• Калькулятор (или считайте в столбик или в уме).

Набор инструментов нехитрый, найдется в каждом хозяйстве. Проще измерения проводить с помощником, но можно справиться и самостоятельно.

Для начала надо измерить длину стен. Делать это желательно вдоль стен, но если все они заставлены тяжелой мебелью, можно проводить измерения и посередине. Только в этом случае следите чтобы лента рулетки лежала вдоль стен, а не наискосок — погрешность измерений будет меньше.

Прямоугольная комната

Если помещение правильной формы, без выступающих частей, вычислить площадь комнаты просто. Измеряете длину и ширину, записываете на бумажке. Цифры пишите в метрах, после запятой ставите сантиметры. Например, длина 4,35 м (430 см), ширина 3,25 м (325 см).

Как высчитать площадь комнаты

Найденные цифры перемножаем, получаем площадь комнаты в квадратных метрах. Если обратимся к нашему примеру, то получится следующее: 4,35 м * 3,25 м = 14,1375 кв. м. В данной величине оставляют обычно две цифры после запятой, значит округляем. Итого, рассчитанная квадратура комнаты 14,14 квадратных метров.

Помещение неправильной формы

Если надо высчитать площадь комнаты неправильной формы, ее разбивают на простые фигуры — квадраты, прямоугольники, треугольники. Потом измеряют все нужные размеры, производят расчеты по известным формулам (есть в таблице чуть ниже).

Перед тем как посчитать площадь комнаты, тоже проводим изменения. Только в этом случае цифр будет не две, а четыре: добавится еще длина и ширина выступа. Габариты обоих кусков считаются отдельно.

Один из примеров — на фото. Так как и то, и другое — прямоугольник, площадь считается по той же формуле: длину умножаем на ширину. Найденную цифру надо отнять или прибавить к размеру помещения — в зависимости от конфигурации.

Площадь комнаты сложной формы

Покажем на этом примере как посчитать площадь комнаты с выступом (изображена на фото выше):

Еще бывают помещения со скошенными стенами. В этом случае разбиваем ее так, чтобы получились прямоугольники и треугольник (как на рисунке ниже). Как видите, для данного случая требуется иметь пять размеров. Разбить можно было по-другому, поставив вертикальную, а не горизонтальную черту

Это не важно. Просто требуется набор простых фигур, а способ их выделения произвольный

Как посчитать площадь комнаты неправильной формы

В этом случае порядок вычислений такой:

Планировка помещений может быть очень разнообразной, но общий принцип вы поняли: делим на простые фигуры, измеряем все требуемые размеры, высчитываем квадратуру каждого фрагмента, потом все складываем.

Формулы расчета площади и периметра простых геометрических фигур

Еще одно важное замечание: площадь комнаты, пола и потолка — это все одинаковые величины. Отличия могут быть если есть какие-то полу-колоны, не доходящие до потолка

Тогда из общей квадратуры вычитается квадратура этих элементов. В результате получаем площадь пола.

Площадь четырехугольника, заданного координатами

Формула площади четырехугольника по координатам используется для расчета площади фигур, которые располагаются в системе координат. В этом случае для начала требуется расчет длин необходимых сторон. В зависимости от типа четырехугольника может меняться и сама формула. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника, используя квадрат, который лежит в системе координат XY.

Дан квадрат ABCD, расположенный в системе координат XY. Найти площадь фигуры, если координаты вершин A>(2;10);>B(10;8); C>(8;0);>D>(0;2).Дан квадрат ABCD, расположенный в системе координат XY. Найти площадь фигуры, если координаты вершин A>(2;10);>B(10;8); C>(8;0);>D>(0;2).

Мы знаем, что все стороны фигуры равны, и формула площади квадрата находится по формуле:Найдем одну из сторон, к примеру, AB:Подставим значения в формулу:Знаем, что все стороны одинаковые. Подставляем значение в формулу расчета площади:

Четырёхугольники

Четырёхугольник — это выпуклый многоугольник с четырьмя углами и четырьмя сторонами. Четырёхугольник образуется замкнутой ломаной линией, состоящей из четырёх звеньев, и той частью плоскости, которая находится внутри ломаной.

Обозначение четырёхугольника составляют из букв, стоящих при его вершинах, называя их по порядку. Например, говорят или пишут: четырёхугольник ABCD :

В четырёхугольнике ABCD точки A, B, C и D — это вершины четырёхугольника, отрезки AB, BC, CD и DA — стороны.

Вершины, принадлежащие одной стороне, называются соседними, вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими:

В четырёхугольнике ABCD вершины A и B, B и C, C и D, D и A — соседние, а вершины A и C, B и D — противолежащие. Углы, лежащие при соседних вершинах, также называются соседними, а при противолежащих вершинах — противолежащими.

Стороны четырёхугольника также можно попарно разделить на соседние и противолежащие: стороны, имеющие общую вершину, называются соседними (или смежными), стороны, не имеющие общих вершин — противолежащими:

Если противолежащие вершины соединить отрезком, то такой отрезок будет называться диагональю четырёхугольника. Учитывая, что в четырёхугольнике есть всего две пары противолежащих вершин, то и диагоналей может быть всего две:

Формула расчета площади неправильного многоугольника

1. Калькулятор для расчета площади
2. Данный онлайн-калькулятор позволяет рассчитать площадь различных геометрических фигур, таких как:
3. Математические калькуляторы

1. Прямоугольник;
2. Параллелограмм;
3. Сектор круга;
4. Круг;

1. Треугольник;
2. Эллипс;
3. Трапеция.
4. Правильный многоугольник;

Для удобства расчетов вы можете выбрать единицу измерения (миллиметр, сантиметр, метр, километр, фут, ярд, дюйм, миля).

Также полученный результат можно конвертировать в другую единицу измерения путем выбора её из выпадающего списка. Правильный многоугольник DeutschEnglishEspañolFrançaisРусскийУкраїнська Используя этот онлайн калькулятор, вы сможете найти площадь четырехугольника.

Как найти площадь четырехугольника – параллелограмма

Если выпуклый многоугольник имеет 2 пары непересекающихся сторон, то перед вами – параллелограмм.

Общее выражение

Для определения площади данного вида фигуры потребуются:

• Сторона четырехугольника и высота, на нее опущенная: S = k*h(k),k – сторона фигуры,h(k) – высота к ней.
• Длина двух сторон, имеющих одну вершину, и градусная мера угла при данной вершине:S = l*k*sinϕ,k, l – стороны многоугольника,ϕ – угол между ними.
• Диагонали фигуры и угол, полученный как результат их пересечения: S = d1*d2*sinβ/2,d1, d2 – диагонали,β – угол – результат их пересечения.

Ромб

Данный четырехугольник – частный случай параллелограмма, имеющий 4 равные стороны. Поэтому выражения, справедливые для параллелограмма, верны и для него. Тогда

• S = k*h(k),k – сторона фигуры, h(k) – высота к ней.
• S = k 2 *sinϕ,k – сторона четырехугольника, ϕ – угол между сторонами.
• S = d1*d2/2 (т.к. диагонали фигуры при пересечении образую прямой угол, а sin90° = 1),d1, d2 – диагонали многоугольника.

Прямоугольник

Такой многоугольник имеет 2 пары равных сторон, а градусная мера его углов – 90°. Для нахождения его площади справедливы следующие выражения:

• S = k*l,k, l – стороны фигуры.
• S = d 2 *sinβ/2,d – диагонали четырехугольника, β – угол – результат их пересечения.
• S = 2R 2 *sinβ,R – радиус в случае описанной окружности.

Квадрат

В данном случае у соотношения, полученные на предыдущем этапе, приобретут следующий вид (т.к. стороны такого вида прямоугольника равны):

S = k 2 , k – сторона фигуры.

S = d 2 /2, d – диагональ квадрата.

• S = 2R 2 , R – радиус в случае описанной окружности.
• S = 4r 4 , r – радиус в случае вписанной окружности.

Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех вершин, три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, соединяющих их.

Существует множество четырехугольников. К ним относятся параллелограммы, квадраты, ромбы, трапеции. Найти можно найти по сторонам, легко вычисляется по диагоналям. В произвольном четырехугольнике также можно использовать все элементы для вывода формулы площади четырехугольника. Для начала рассмотрим формулу площади четырехугольника через диагональ. Для того, чтобы ее использовать потребуются длины диагоналей и размер острого угла между ними. Зная необходимые данные можно проводить пример расчета площади четырехугольника по такой формуле:

Половина произведения диагоналей и синуса острого угла между ними является площадью четырехугольника. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через диагональ.

Пусть дан четырехугольник с двумя диагоналями d1 =5 см;d2 =4см. Острый угол между ними равен α = 30°. Формула площади четырехугольника через диагонали легко применяется для известных условий. Подставим данные:

На примере расчета площади четырехугольника через диагонали понимаем, что формула очень похожа на расчет .

Неравенства

Область

Если выпуклый четырехугольник имеет следующие друг за другом стороны a , b , c , d и диагонали p , q , то его площадь K удовлетворяет условию

K ≤ 1 4 ( а + c ) ( б + d ) {\ Displaystyle К \ Leq {\ tfrac {1} {4}} (а + с) (б + г)} с равенством только для прямоугольника .

K ≤ 1 4 ( а 2 + б 2 + c 2 + d 2 ) {\ Displaystyle К \ leq {\ tfrac {1} {4}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2})} с равенством только для квадрата .

K ≤ 1 4 ( п 2 + q 2 ) {\ Displaystyle К \ leq {\ tfrac {1} {4}} (p ^ {2} + q ^ {2})} с равенством, только если диагонали перпендикулярны и равны.

K ≤ 1 2 ( а 2 + c 2 ) ( б 2 + d 2 ) {\ Displaystyle К \ leq {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {(a ^ {2} + c ^ {2}) (b ^ {2} + d ^ {2})}}} с равенством только для прямоугольника.

Из формулы Бретшнайдера непосредственно следует, что площадь четырехугольника удовлетворяет условию

K ≤ ( s — а ) ( s — б ) ( s — c ) ( s — d ) {\ Displaystyle К \ leq {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd)}}}

с равенством тогда и только тогда, когда четырехугольник является вписанным или вырожденным, так что одна сторона равна сумме трех других (он свернулся в отрезок прямой , поэтому площадь равна нулю).

Площадь любого четырехугольника также удовлетворяет неравенству

K ≤ 1 2 ( а б + c d ) ( а c + б d ) ( а d + б c ) 3 . {\ displaystyle \ displaystyle K \ leq {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {(ab + cd) (ac + bd) (ad + bc)}}.}.

Обозначив периметр как L , имеем

K ≤ 1 16 L 2 , {\ Displaystyle К \ leq {\ tfrac {1} {16}} L ^ {2},}

с равенством только в случае квадрата.

Площадь выпуклого четырехугольника также удовлетворяет

K ≤ 1 2 п q {\ Displaystyle К \ leq {\ tfrac {1} {2}} pq}

для диагоналей p и q с равенством тогда и только тогда, когда диагонали перпендикулярны.

Пусть a , b , c , d — длины сторон выпуклого четырехугольника ABCD площади K и диагоналей AC = p , BD = q . потом

K ≤ а 2 + б 2 + c 2 + d 2 + п 2 + q 2 + п q — а c — б d 8 {\ displaystyle K \ leq {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} + p ^ {2} + q ^ {2} + pq-ac- bd} {8}}} с равенством только для квадрата.

Пусть a , b , c , d — длины сторон выпуклого четырехугольника ABCD с площадью K , тогда выполняется неравенство

K ≤ 1 3 + 3 ( а б + а c + а d + б c + б d + c d ) — 1 2 ( 1 + 3 ) 2 ( а 2 + б 2 + c 2 + d 2 ) {\ displaystyle K \ leq {\ frac {1} {3 + {\ sqrt {3}}}} (ab + ac + ad + bc + bd + cd) — {\ frac {1} {2 (1+ { \ sqrt {3}}) ^ {2}}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2})} с равенством только для квадрата.

Диагонали и бимедианы

Следствием теоремы Эйлера о четырехугольнике является неравенство

а 2 + б 2 + c 2 + d 2 ≥ п 2 + q 2 {\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} \ geq p ^ {2} + q ^ {2}}

где равенство выполняется тогда и только тогда, когда четырехугольник является параллелограммом .

Эйлер также обобщил теорему Птолемея , которая является равенством в вписанном четырехугольнике , в неравенство для выпуклого четырехугольника. В нем говорится, что

п q ≤ а c + б d {\ displaystyle pq \ leq ac + bd}

где есть равенство тогда и только тогда, когда четырехугольник вписанный. Это часто называют неравенством Птолемея .

В любом выпуклом четырехугольнике бимедианы m, n и диагонали p, q связаны неравенством

п q ≤ м 2 + п 2 , {\ displaystyle pq \ leq m ^ {2} + n ^ {2},}

причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда диагонали равны. Это непосредственно следует из четырехугольного тождества м 2 + п 2 знак равно 1 2 ( п 2 + q 2 ) . {\ displaystyle m ^ {2} + n ^ {2} = {\ tfrac {1} {2}} (p ^ {2} + q ^ {2}).}

Стороны

Стороны a , b , c и d любого четырехугольника удовлетворяют

а 2 + б 2 + c 2 > d 2 3 {\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}> {\ frac {d ^ {2}} {3}}}

а также

а 4 + б 4 + c 4 ≥ d 4 27 . {\ displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} \ geq {\ frac {d ^ {4}} {27}}.}

Калькулятор расчета площади земельного участка неправильной формы

Инструкция для калькулятора расчета площади неправильного земельного участка

Данный онлайн калькулятор помогает произвести расчет, определение и вычисление площади земельного участка в онлайн режиме. Представленная программа способна правильно подсказать, как выполнить расчет площади земельных участков неправильной формы.

Указываем все данные в метрах

A B, D A, C D, B C— Размер каждой стороны делянки.

Согласно введен данным, наша программа в онлайн режиме выполнить расчет и определить, площадь земельных угодий в квадратных метрах, сотках, акрах и гектарах.

Методика определения размеров участка ручным методом

Чтобы правильно выполнить расчет площади делянок, не нужно использовать сложные инструменты. Мы берем деревянные колышки или металлические прутья и устанавливаем их в углах нашего участка. Далее при помощи измерительной рулетки определяем ширину и длину делянки. Как правило, достаточно выполнить замер одной ширины и одной длины, для прямоугольных или равносторонних участков. Для примера, у нас получились следующие данные: ширина – 20 метров и длина – 40 метров.

Далее переходим к расчету площади делянки. При правильной форме участка, можно использовать геометрическую формулу определения площади (S) прямоугольника. Согласно этой формуле, нужно выполнить умножение ширины (20) на длину (40) , то есть произведение длин двух сторон. В нашем случае S=800 м².

После того, как мы определили нашу площадь, мы можем определить количество соток на земельном участке. Согласно общепринятым данным, в одной сотке – 100 м². Далее при помощи простой арифметики, мы разделим наш параметр S на 100. Готовый результат и станет равен размеру делянки в сотках. Для нашего примера, этот результат – 8. Таким образом, получаем, что площадь участка составляет восемь соток.

В том случае, когда территория угодий очень большая, то лучше всего выполнять все измерения в других единицах – в гектарах. Согласно общепринятым единицам измерения – 1 Га = 100 соток. К примеру, если наша земельная делянка согласно полученным измерениям составляем 10 000 м², то в этом случае его площадь равна 1 гектару или 100 соткам.

Если Ваш участок неправильной формы, то в этом случае количество соток напрямую зависит от площади. Именно по этой причине при помощи онлайн калькулятора Вы сможете правильно рассчитать параметр S делянки, и после этого разделив полученный результат на 100. Таким образом, Вы получите расчеты в сотках. Такой метод предоставляет возможность измерять делянки сложных форм, что весьма удобно.

Общие данные

Расчет площади земельных участков базируется на классических расчетах, которые выполняются согласно общепринятым геодезическим формулам.

Всего доступно несколько методов для расчета площади земельных угодий – механический (рассчитывается по плану при помощи мерных палеток), графический (определяется по проекту) и аналитический (при помощи формулы площади по измеренным линиям границ).

На сегодняшний день самым точным способом заслуженно считается – аналитический. Используя данный метод, ошибки при расчетах, как правило, появляются из-за погрешностей на местности измеренных линий. Данный способ является также и достаточно сложным, если границы криволинейные или количество углом на делянке больше десяти.

Немного проще по расчетам является графическим способ. Его лучше всего использовать в том случае, когда границы участка представлены в виде ломанной линии, с небольшим количеством поворотов.

И самый доступный и простой способ, и наиболее популярный, но и в тоже время самой большой погрешностью – механический способ. Используя данный метод, Вы сможете легко и быстро выполнить расчет площади земельных угодий простой или сложной формы.

Среди серьезных недостатков механического или графического способа, выделяют следующее, кроме погрешностей при измерении участка, при расчетах добавляется погрешность из-за деформации бумаги или погрешность при составлении планов.

Источник

Формула для расчета площади неправильного многоугольника

Конвертер единиц расстояния и длины Конвертер единиц площади Присоединяйтесь 2011-2017 Довжик Михаил Копирование материалов запрещено. В онлайн калькуляте можно использовать величины в одинаквых единицах измерения! Если у вас возниели трудности с преобразованием едениц измерения воспользуйтесь конвертером единиц расстояния и длины и конвертером единиц площади.

Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади четырехугольника

1. Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «вправо» и «влево» на клавиатуре.

Теория.

Площадь четырехугольника Четырёхугольник — геометрическая фигура, состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Четырёхугольник называется выпуклым, если отрезок соединяющий любые две точки этого четырехугольника, будет находиться внутри него.

Формула определения площади определяется путем взятия каждого ребра многоугольника АВ, и вычисления площади треугольника АВО с вершиной в начале координат О, через координаты вершин. При обходе вокруг многоугольника, образуются треугольники, включающие внутреннюю часть многоугольника и расположенные снаружи его.

Разница между суммой этих площадей и есть площадь самого многоугольника. Поэтому формула называется формулой геодезиста, так как «картограф» находится в начале координат; если он обходит участок против часовой стрелки, площадь добавляется если она слева и вычитается если она справа с точки зрения из начала координат.

Формула площади действительна для любого самонепересекающегося (простого) многоугольника, который может быть выпуклым или вогнутым.

Площадь многоугольника Внимание Это может быть:

1. четырехугольник;
2. треугольник;
3. пяти- или шестиугольник и так далее.

Определения и соглашения

В приведённой ниже таблице будут указаны определения и договорённости, которые будут использоваться в дальнейшем во время наших рассуждений.

1. Четырёхугольник – это фигура из четырёх точек (вершин), из которых любые три не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон) последовательно их соединяющих.
2. Диагональ — отрезок, соединяющий вершины многоугольника не лежащие на одной стороне (её обозначение – латинская буква d).
3. Площадь фигуры — это численное значение территории, заключённой внутри многоугольника (её обозначение – латинская буква S).
4. Синус угла — это число равное отношению противоположного катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. (её обозначение – запись sin).
5. Косинус угла — это число равное отношению прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. В дальнейшем в статье для его обозначения будем использовать латинскую запись cos.
6. Описанная окружность — это окружность, которой принадлежат все вершины многоугольника ( её радиуса обозается буквой R).
7. Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. В дальнейшем в статье для обозначения её радиуса будем использовать латинскую букву r.
8. Угол между сторонами a и b будем обозначать следующей записью (a,b).

Как найти площадь многоугольника

Все, что имеет больше двух углов, является многоугольником, в том числе и треугольник. Рассмотрим, как найти площадь многоугольников.

1

Как найти площадь многоугольника – треугольник

• S = 1/2×h×b, где h – высота, а b – сторона.
• S = 1/2 a×b×sinα, где а и b – стороны треугольника, а sinα – синус угла между ними.
• S = √p×(p-a)×(p-b)×(p-c), где p – половина периметра, а, b, c – стороны. Если известны все стороны треугольника, то найти площадь можно именно по этой формуле.
• S = r×p, где r – радиус вписанной окружности, а p – половина периметра. Если в треугольник вписана окружность, то для нахождения площади можно использовать эту формулу.
• S = abc/4R, где a, b, c – стороны треугольника, а R – радиус описанной окружности. Если треугольник вписан в окружность, для нахождения площади треугольника можно использовать эту формулу.

Прямоугольный треугольник

• S = 1/2×ab, где a и b – катеты прямоугольного треугольника.
• S = d×e, где d и e отрезки гипотенузы, образованные при касании вписанной окружности об гипотенузу.
• S = (p-a)×(p-b), где p – половина периметра, а и b – катеты.

Равнобедренный треугольник

• S = 1/2×a²×sina, где а – бедро треугольника, sina же – угол между бедрами.
• S = b²/4tgα/2, где b – основание треугольника, а tgα – угол между бедрами.

Равносторонний треугольник

• S = √3×a²/4, где а – сторона треугольника (любая, так как в равностороннем треугольнике все стороны равны).
• S = 3√3×R²/4, где R – радиус окружности, в которую вписан треугольник.
• S = 3√3×r², где r – радиус окружности, которая вписана в треугольник.
• S = h²/√3, где h – высота равностороннего треугольника.

2

Как найти площадь многоугольника – квадрат

• S = a², а – сторона квадрата. Так как все стороны квадрата равны, достаточно умножить одну его сторону на другую.
• S = d²/2, где d – диагональ квадрата.

3

Как найти площадь многоугольника – прямоугольник

• S = a×b, где a и b – стороны прямоугольника. Так как противолежащие стороны в прямоугольнике равны, достаточно умножить одну его сторону (длину) на не противолежащую, перпендикулярную сторону (ширину).
• S = a²+b²=c², где a – ширина, b – длина, а c – диагональ. Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника и если в условии задачи дана одна сторона прямоугольника и его диагональ, несложно будет найти и третью сторону, использую теорему Пифагора. После того как мы найдем эту сторону, ищем площадь по стандартной формуле a×b. Пример: Ширина прямоугольника – 3см, диагональ – 5 см. Найти площадь. Пишем 3² + x² = 5².  x² = 16 => x = 4. S = a×b = 3×4=12. Ответ: S прямоугольника = 12см²

4

Как найти площадь многоугольника – трапеция

• S = (a+b)×h/2, где a – маленькое, b – большое основание трапеции, h – высота.
• S = h×m, где h – высота, m – средняя линия трапеции, равная половине суммы оснований – 1/2×(a+b).
• S = 1/2×d1×d2×sinα, где d1 и d2 – диагонали трапеции, а sinα – синус угла между ними.
• S = a+b/2×√c²-((b-a)²+c²-d²/2(b-a))², где a и b – основания трапеции, c и d – остальные две стороны.

S = 4r²/sinα, где r – радиус вписанной окружности, а sinα – синус угла между стороной и основанием.

5

Площадь правильного многоугольника

• S = r×p = 1/2×r×n×a, где r – радиус вписанной окружности, p – половина периметра. Для того чтобы найти площадь любого правильного многоугольника, нужно разбить его на равные треугольники с общей вершиной в центре вписанной окружности.
• S = n×a²/4tg(360°/2n), где n – число сторон правильного многоугольника, а – длина стороны.Также вычислить площадь правильного многоугольника поможет данный онлайн сервис. Просто вставьте нужное значение и получите ответ.

6

Площадь неправильного многоугольника

Площадь неправильного многоугольника можно найти с помощью координат его вершин. Если в условии задачи даны вышеупомянутые координаты, то выполняем следующее:

• Составляем таблицу указывая букву, обозначающую вершину и соответствующие координаты (x; y).
• Умножаем значение x одной вершины на значение y второй и так далее.
• Складываем все значение, получаем какое-то число.

Составляем точно такую таблицу, по такому же принципу умножаем y координату одной вершины на x координату второй, складываем получившиеся значения.

От суммы значений первой таблицы отнимаем сумму значений второй таблицы.

Полученное число делим на 2 и тем самым находим площадь неправильного многоугольника.

Первая полоса

Беременность

Как не набрать лишний вес во время беременности

Формула площади прямоугольника

Для того, чтобы найти площадь прямоугольника без формулы необходимо посчитать количество единичных квадратов, на которые разбита фигура.

Рис. 1. Прямоугольник, разбитый на единичные квадраты

Прямоугольник разбит на 15 квадратов, то есть его площадь равна 15 см2

Стоит обратить внимание, что в ширину фигура занимает 3 квадрата, а в длину 5, поэтому чтобы вычислить количество единичных квадратов, необходимо умножить длину на ширину. Меньшая сторона четырехугольника – ширина, большая длина

Таким образом, можно вывести формулу площади прямоугольника:

S = a · b, где a,b – ширина и длина фигуры.

К примеру, если длина прямоугольника 5 см, а ширина 4 см, то площадь будет равна 4*5=20 см2.

Площадь прямоугольника

Ещё из младшей школы известно, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Докажем этот факт, используя только свойства площади и выведенную нами ранее формулу площади квадрата.

Возьмем произвольный прямоугольник со сторонами a и b. Далее достроим его до квадрата со стороной (а + b):

С одной стороны, площадь большого квадрата (со стороной а + b) равна величине (а + b)2. С другой стороны, он состоит из 4 фигур, а потому его площадь равна сумме

Итак, мы доказали следующее утверждение:

Задание. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 5 и 8 см?

Решение. Просто перемножаем эти числа:

Задание. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке:

Решение. Необходимо разбить фигуры на несколько прямоугольников:

Далее считаем площадь каждого отдельного прямоугольника:

Задание. Полкомнаты необходимо покрыть паркетом. Длина и ширина комнаты равны 6 и 5,5 метрам, а каждая дощечка паркета имеет габариты 30х5 см. Сколько дощечек паркета необходимо купить для ремонта?

Решение. В таких задачах прежде всего следует все длины выразить в одних единицах измерения. Перепишем габариты комнаты:

Важно убедиться, что пол можно полностью покрыть целым числом дощечек, не используя какие-либо дощечки наполовину. Для этого габариты дощечки должны быть габаритам комнаты

Это условие соблюдается:

Получается, что для покрытия пола дощечки необходимо разместить их в 20 рядов, в каждом из которых будет 110 досок. Тогда общее количество досок будет равно

Задание. Площадь прямоугольника равна 64, а одна из его сторон имеет длину 16. Найдите вторую сторону прямоугольника.

Решение. Запишем формулу площади прямоугольника:

Задание. Найдите стороны прямоугольника, если площадь равна 500, а одна из сторон в 5 раз больше другой стороны.

Решение. Обозначим меньшую сторону переменной х. Тогда большая сторона будет в 5 раз больше, то есть она равна 5х. Площадь прямоугольника будет вычисляться как произведение этих чисел

Мы получили два значения х, 10 и (– 10). Естественно, длина отрезка не может выражаться отрицательным числом, поэтому нам подходит только значение 10. Это длина меньшей стороны. Большая же сторона в 5 раз длиннее, то есть ее длина равна

Задание. Одна сторона прямоугольника длиннее другой на 5 см, а площадь прямоугольника равна 150 см2. Вычислите обе стороны прямоугольника.

Решение. Снова обозначим длину меньшей стороны буквой х, тогда большая сторона будет иметь длину х + 5 см. По условию произведение этих сторон равно 150:

Это обычное квадратное уравнение, решаемое с помощью:

Снова получили два корня, из которых только один является положительным. Итак, меньшая сторона равна 10 см. Тогда большая сторона буде равна

Задание. Периметр прямоугольника равен 16 см, а площадь составляет 15 см2. Каковы стороны этого прямоугольника?

Решение. Обозначим смежные стороны буквами a и b. Тогда и две другие стороны также будут равны а и b. Так как периметр (его обозначают буквой Р) по определению является суммой длин всех сторон, то для прямоугольника он будет равен:

Если сюда вместо S подставить 15, а вместо а выражение 8 – b, то получим такое уравнение:

Оба полученных корня являются положительными числами, то есть устраивают нас. Зная b, легко найдем и a:

В первом случае получается, что стороны равны 3 и 5 см. Во втором случае получились те же числа, только в другом порядке: 5 и 3 см. То есть эти два ответа, по сути, идентичны друг другу.

Ответ: 5 см; 3 см.